Rassurez-vous tout de suite : si votre dernier contact avec les mathématiques remonte à une équation du second degré qui vous avait déjà donné envie de devenir boulanger, vous pouvez rester ! Cette première partie est faite pour vous, avec des mots normaux et sans vous jeter une intégrale triple au visage. Par contre, si vous êtes fan de maths, amateur éclairé ou simplement quelqu’un qui sait pourquoi une équation n’est pas forcément une bonne raison de jeter sa calculatrice par la fenêtre, restez aussi : la seconde partie va entrer beaucoup plus profondément dans le sujet. Enfin, je l’espère !
Le 6 octobre, OpenAI a publié quelque chose d’assez inhabituel : des centaines de résultats mathématiques produits par un modèle d’IA interne, portant notamment sur des problèmes de recherche encore ouverts ou particulièrement difficiles. Et surtout, une partie de ces résultats est accompagnée de preuves formalisées que l’ordinateur peut vérifier lui-même.
Autrement dit, l’IA ne se contente plus de vous expliquer pourquoi 2+2=4. Elle commence à proposer des choses que les mathématiciens peuvent réellement examiner, contester, vérifier et éventuellement intégrer aux connaissances humaines. Là, on commence à jouer dans une autre cour pour quitter mes problèmes d’intégrales qui me faisaient littéralement perdre tout mes moyens devant ma prof de math en secondaire. Bon, j’étais un peu amoureux d’elle, ça aidait un peu.
Jusqu’ici, lorsqu’on parlait de ChatGPT et de mathématiques, on parlait généralement d’un outil capable de résoudre des exercices, d’expliquer une formule ou de vous aider à comprendre pourquoi votre démonstration était partie en sucette à la troisième ligne. Mais résoudre un exercice connu et faire avancer la recherche mathématique sont deux choses radicalement différentes.
Imaginez que vous demandiez à une IA de résoudre un problème dont personne ne connaît encore la solution. Elle doit alors chercher une piste, inventer éventuellement de nouveaux raisonnements, tester des idées, revenir en arrière lorsque quelque chose ne fonctionne pas et finalement produire une démonstration suffisamment solide pour convaincre des humains mathématiciens. C’est chaud.
C’est précisément ce qu’OpenAI affirme avoir commencé à obtenir avec son modèle interne de pointe, qui n’est d’ailleurs pas présenté comme un modèle disponible au public.
L’entreprise a publié un catalogue comprenant 722 manuscrits regroupés en 372 familles de résultats, couvrant de nombreux domaines : théorie des nombres, géométrie, algèbre, probabilités, informatique théorique, équations différentielles et physique mathématique. Du beau monde. Le modèle aurait été confronté à environ 4 000 problèmes, avec en moyenne l’équivalent d’environ trois heures de calcul de raisonnement ChatGPT Pro par résultat retenu.
Alors, soyons un peu de bonne foi, cela ne signifie évidemment pas que l’IA a résolu ces 4 000 problèmes. Les chercheurs ont sélectionné les résultats jugés suffisamment intéressants pour être publiés et les ont regroupés en familles. OpenAI précise d’ailleurs que tous les résultats ne sont pas au même niveau de vérification et que certains peuvent encore comporter des problèmes.
Une IA peut produire une démonstration qui semble parfaitement convaincante et pourtant contenir une erreur. C’est même l’un des gros problèmes des modèles de langage : ils peuvent produire des raisonnements extrêmement plausibles sans pour autant avoir raison. Les mathématiciens ont donc besoin d’autre chose que d’un joli texte rempli de symboles.
OpenAI fournit pour une partie des résultats une formalisation réalisée avec Lean, un système permettant de traduire une démonstration mathématique dans une forme que l’ordinateur peut vérifier. Prenons un exemple.
Un mathématicien peut écrire : “Cette étape découle facilement du résultat précédent“. Pour l’anecdote, j’ai d’ailleurs appris qu’on appelait ça un “lemme”, une espèce de petit résultat intermédiaire démontré pour servir ensuite à démontrer quelque chose de plus important. Ensuite, l’ordinateur répond en quelque sorte : “Non. Prouvez-le.” Et il ne se laisse pas attendrir par le traditionnel “mais enfin, c’est évident !”.
Avec Lean, les différentes étapes d’une preuve sont exprimées dans un langage formel et un vérificateur peut contrôler que la conclusion découle effectivement des hypothèses et des règles utilisées. Cela ne garantit pas automatiquement que le problème posé correspond exactement à celui que l’on voulait résoudre, mais cela fournit une vérification extrêmement rigoureuse de la preuve formalisée elle-même.
C’est donc une différence fondamentale : l’IA ne demande plus seulement aux humains de lui faire confiance. Elle fournit, dans certains cas, quelque chose qu’une machine peut vérifier indépendamment.
Et ça, pour les mathématiques, c’est beaucoup plus sérieux qu’un chatbot qui vous explique la règle de trois avec un enthousiasme débordant.
Préambule
Bon, je vais être honnête, j’ai demandé à l’IA de m’aider à résumer tout ce machin. Si certains points sont à affiner, veuillez accueillir mes plus plates et sincères excuses. J’ai demandé à deux autres IA de vérifier ce chapitre et ça parait correct, j’ai tout de même dû modifier un truc ou l’autre car “ça manquait d’une petite précision”. J’ai donc adapté “L’irrationalité de π” en “l’exposant d’irrationalité de π”. Dur.
On y retourne …
Le dépôt publié par OpenAI regroupe des résultats à différents niveaux de maturité. La société insiste elle-même sur ce point : tous les manuscrits ne disposent pas d’une formalisation Lean, et certains résultats non formalisés peuvent encore contenir des erreurs.
Le catalogue contient notamment des travaux portant sur la fonction zêta de Riemann, les conjectures de Mahler (ah, je pensais que c’était un compositeur de musique classique), le problème de Hilbert numéro 10 sur les rationnels, la conjecture des jeux uniques, l’isomorphisme des facteurs de groupes libres ou encore différents problèmes en géométrie et en physique mathématique.
L’un des résultats particulièrement remarqués concerne une région sans zéros pour les fonctions L de Dirichlet, avec une affirmation de type “quasi-Riemann” dans le demi-plan \mathrm{Re}(s)>7/8. Une autre version fournit une preuve différente pour la région \mathrm{Re}(s)>11/12. (C’est écrit par un extra-terrestre ?)
Pour le profane (genre : moi), ces expressions ne veulent absolument rien dire. Pour le spécialiste de théorie analytique des nombres, par contre, elles indiquent immédiatement qu’on n’est plus en train de demander à une IA de calculer une dérivée. (ah bon ? C’est juste ça ?).
Le catalogue contient également des résultats portant sur l’exposant d’irrationalité de π, des problèmes de combinatoire, des bornes en informatique théorique (des bornes de recharge ?) ou encore des questions extrêmement spécialisées de théorie des groupes et de géométrie. Mais il faut conserver une nuance essentielle : “publié par OpenAI” ne signifie pas “validé par la communauté mathématique”.
Une preuve formalisée en Lean peut être vérifiée mécaniquement, ce qui constitue une garantie très forte sur la chaîne logique effectivement encodée. Mais il reste à déterminer si cette formalisation correspond exactement à l’énoncé revendiqué, si les hypothèses sont pertinentes, si le résultat est réellement nouveau et quelle est son importance mathématique. Et surtout, une grande partie du catalogue n’est pas encore formalisée.
Le plus impressionnant dans cette annonce n’est donc peut-être pas le nombre de résultats, ni même le nom des conjectures abordées. C’est le changement de rôle potentiel de l’IA.
Pendant des décennies, l’ordinateur a principalement servi les mathématiciens à calculer plus vite. Puis les logiciels de calcul symbolique leur ont permis de manipuler des expressions complexes. Les assistants de preuve ont ensuite permis de formaliser des démonstrations avec une rigueur difficilement atteignable sur papier.
Avec ces nouveaux modèles, on commence à envisager une autre étape : une machine qui cherche elle-même des pistes de recherche, produit des conjectures, construit des démonstrations et fournit ensuite une formalisation permettant à un autre système informatique d’en vérifier la cohérence.
Le mathématicien ne disparaît donc pas nécessairement (heureusement !). Son rôle pourrait plutôt se déplacer : choisir les bonnes questions, comprendre pourquoi un résultat est important, identifier les idées réellement nouvelles, vérifier les hypothèses et transformer une masse de raisonnements générés par machine en connaissance mathématique compréhensible.
Et c’est probablement là que se trouve le véritable défi. Parce qu’une IA capable de produire 722 manuscrits mathématiques est impressionnante. Mais une IA capable de produire un résultat que les humains comprennent, vérifient et peuvent ensuite réutiliser serait beaucoup plus importante.
Pour l’instant, OpenAI vient de fournir une gigantesque brouette de copies à corriger. Les mathématiciens ont donc désormais un problème assez inhabituel : ils doivent corriger les devoirs de l’élève qui pourrait bien être meilleur qu’eux en vitesse de réalisation, tout en vérifiant qu’il n’a pas glissé trois pages de machin incompréhensible entre deux démonstrations impeccables.
Et quelque part, après des siècles de mathématiques humaines, c’est probablement l’un des contrôles de connaissances les plus vexants jamais inventés.
Je vous remercie d’avoir lu cet article écrit en grande partie par un humain et controlé par l’IA (ce monde devient fou!) et je suis heureux d’avoir appris que le mot “lemme” existait !
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